Studie je z mé psychologické praxe. Uvádím ji jako ukázku skutečnosti, jak strategie řešení příkladů z předchozích let ovlivňují člověka o řadu let později. Zároveň má ukázat, že nepřesné posouzení situaci velmi zhorší. 

Byl jsem třídní učitelkou požádán o konzultaci. Jednalo se o chlapce na konci třetí třídy, který jednou za čas dostával ve třídě hysterický záchvat. Společným jmenovatelem situací se záchvaty bylo právě počítání v matematice. Podle paní učitelky měl žák výsledky zhruba průměrné, ale vydřené. Paní učitelka uvedla, že maminka s žákem hodně procvičuje a dře. Podle ní kluk není příliš chytrý, ale je vždy připravený a maminka ho nejspíše přetěžuje. Podle učitelky se maminka pravděpodobně bojí, že bez důrazného procvičování se chlapcovy výsledky výrazně zhorší. 

Navštívil jsem jednu hodinu matematiky. Pro lepší porozumění paní učitelka naplánovala pobyt venku. Děti si měli hledat příklady a poté si sami ověřovat výsledky. Ze strany žáka to byla velká komedie, protože sice pobíhal tam a zpátky, a občas vykřikoval věty typu „to je lehký.“ Reálně ale na konci hodiny nic vypočítáno neměl. Z mého pohledu však byla celá tato činnost strategií, jak ostatní přesvědčit, že vlastně vše zná a umí. Pravděpodobně šlo o obranu proti vlastní úzkosti a nízkého sebevědomí.

Rozhodl jsem se tedy zaměřit na konkrétní příklady a způsoby řešení. Nejdříve jsem mu zadal následující příklady na sčítání a odečítání zpaměti vedle sebe (uvádím včetně výsledků žáka):

23+30= 53

23+38=61

53-27=34

5.3=15

7.7=49

27:9=3

5+3=8

13-7=6

5+?=11 (výsledek žáka ?=6)

?-3=7 (výsledek žáka ?=10)

Ze zadaných příkladů vyplývalo několik poznatků:

1. Většina příkladů má správné výsledky. 
2. Výpočty trvaly žákovi velmi dlouho.
3. Při výpočtech si pomáhal různými pomocnými strategiemi. Například si při počítání dvouciferných čísel vedle sebe nad samotná čísla psal písmena j, d. Pokud bylo číslo na místě desítek, tak nad něj napsal „d“. Pokud bylo číslo na místě jednotek, tak na něj napsal „j“. To mu mělo připomínat, že má například sčítat desítky s desítkami a jednotky s jednotkami. 
4. Některé výsledky si žák pamatuje zpaměti. Když si výsledek nepamatuje, tak užívá různé pomocné strategie. Například když si nepamatuje, kolik je 7.7, tak pak vyjmenovává násobky po jedné. 
5. Dělení nezvládá. Příklady si převádí na násobení s chybějícím středním členem. Například 27:9 si převádí na 9.?=27 a poté vyjmenovává násobky devíti. 
6. Celou řadu příkladů počítá skrytě na prstech tak, aby to nebylo vidět. 

Ukázalo se, že se žák nepohybuje v číselné řadě (0-100), ale spíše skládá a rozkládá jednotlivé části čísel. To se ukázalo při výpočtech příkladů 23+30= 53, 23+38=61, 53-27=34. 23+30 si rozložil na 2+3 a 3+0. Poté obě čísla prostě napsal za sebe. Příklad 23+38 má správně, protože podle svých slov příklad identifikoval jako „typ příkladu, kde si musím podržet jedničku“. I přesto tento příklad ale rozložil na 2+3 a 3+8. Jen si musel pamatovat, že když je 3+8 přes desítku, tak k předchozímu číslu 5 (protože na místě desítek je 2+3=5) musí přičíst jedničku. V příkladu 53-27 už ale rozklad provést nelze, protože po 5-2 a 3-7 dostane žák záporné číslo, kterému nerozumí. Protože tak běžně žáci v tomto typu příkladů neví, co dál, tak „zkusí“ odečíst 7-3 a obě čísla složit s prostou myšlenkou „Je to asi špatně, ale třeba to vyjde.“ Proto tak žák vypočítal 53-27=34 (5-2 a 7-3). 

Z počítání tedy vyplynulo, že má žák potíže s dělením a dost možná i s odečítáním. Má tedy potíže s rozkladem celku na části. Proto jsem se zaměřil na jeho počítání do dvaceti, a to především na odečítání. Příklad 13-7=6 má žák sice vypočítaný správně, ale naprosto zásadní je způsob výpočtu. Žák počítal následujícím způsobem. Na pravé ruce vytyčil 3 prsty: prostředníček, ukazováček a palec. Na levé ruce vytyčil všech 5 prstů. Těchto 8 vytyčených prstů mělo naznačovat číslo 13. Poté pokrčil prostředníček pravé ruky a řekl „jedna“. Pokrčil ukazováček pravé ruky a řekl „dva“. Pokrčil palec pravé ruky a řekl „tři“. Pokrčil palec levé ruky a řekl „čtyři“. Pokrčil ukazováček levé ruky a řekl „pět“. Pokrčil prostředníček levé ruky a řekl „šest“. Pokrčil prsteníček levé ruky a řekl „sedm“. Zbyl mu vytyčený pouze malíček levé ruky. Poté žák pronesl, že správný výsledek je 6. Věděl to podle toho, že mu zbyl vytyčený malíček. Když jsem se žáka ptal, proč zastavil počítání zrovna u malíčku, tak mi řekl, že „napočítal do sedmi“ (jednalo se tedy o sedmičku z 13-7). 

Žákův způsob počítání je podle mého názoru principiálně špatný. Sice vede k výsledku, ale neumožňuje mu posun k vyšším stádiím počítání. Pro srovnání uvádím podle mého názoru lepší způsob počítání po jedné. Žák nemá na začátku vytyčené prsty. Místo toho vytyčí palec pravé ruky a řekne „dvanáct“. Poté vytyčí ukazováček pravé ruky a řekne „jedenáct“. Poté vytyčí prostředníček pravé ruky a řekne „deset“. Poté vytyčí prsteníček pravé ruky a řekne „devět“. Poté vytyčí malíček pravé ruky a řekne „osm“. Poté vytyčí palec levé ruky a řekne „sedm“. Nakonec vytyčí ukazováček levé ruky a řekne „šest“. „Výsledek je tedy 6“. 

Mezi oběma způsoby počítání je několik rozdílů. Podstatný rozdíl je však v tom, že ve druhém případě dítě počítá v číselné řadě od třináctky k šestce. Prsty mu přitom slouží jako opora, kterou počítá (1-7) počet kroků. V prvním případě však dítě nepočítá příklad 13-7 odečítáním, ale přičítáním jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm. Prsty jako pomocná řada mu slouží k určení sedmi kroků. Propojením tak vznikne správný výsledek. Nicméně v prvním případě žák pravděpodobně netuší, že se snaží dostat od třinácti k šestce, protože ve skutečnosti počítá jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm. A tady se ukazuje rozdíl. Ve druhém případě se žák skutečně pohybuje v číselné řadě a vědomě odečítá. V prvním případě si dítě osvojilo postup, jak dospět k výsledku. Tento postup je ale bez porozumění. 

Na první pohled to vypadá, že je lhostejné, který postup dítě používá, protože oběma může dospět k výsledku. Potíž je však v tom, že prvním případem nelze prostřednictvím procvičování dospět k počítání celků (v případě přechodu přes desítku rozkladem, tedy 13-3-4). Proto procvičováním dojde k tomu, že dítě nepočítá 13-7 jako dvanáct, jedenáct, deset atd. ale počítá 13-7=6, tedy najednou řekne výsledek bez počítání po jedné. To lze ale pouze v případě, že dítě počítá druhým způsobem jako dvanáct, jedenáct, deset atd. Prvním způsobem to nejde, protože počítáním jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm nelze zautomatizovat příklad 13-7=6. 

Vrátíme se nyní zpět na začátek studie a odpovíme na otázku, proč chlapec brečí, i když má většinu příkladů dobře. Chlapec neumí odečítat. Má však vytvořené velké množství strategií, jak dospět i navzdory tomuto deficitu ke správným výsledkům. Zároveň však mu tyto strategie umožňují jeho obtíže jakž takž skrýt. Stinnou stránkou těchto strategií ale je, že jsou velmi zdlouhavé a namáhavé. Neintegrace počítání do celků totiž zmnohonásobuje počet kroků, což samozřejmě stojí čas i energii. Chlapec má zároveň nízké sebevědomí, protože sebevědomí dětí se vytváří porovnáváním jejich výkonů s výkony ostatními dětí. A pomalost v této souvislosti je pro děti tohoto věku téměř to samé jako hloupost. Situaci na jednu stranu zachraňuje a na druhou stranu zhoršuje vysoký tlak maminky na procvičování. Ten na jednu stranu umožňuje, aby chlapec vůbec dospíval ke správným výsledkům. Na druhou stranu však po psychické stránce chlapce přetěžuje. Ten si to totiž interpretuje tak, že pořád procvičuje a snaží se, a přesto je pomalejší než ostatní. 

Důsledkem výše uvedené obtíže pak byly situace, během kterých chlapec při matematice brečí, i když má většinu příkladů správně. Při konzultaci s třídní učitelkou a maminkou jsme nastavili strategii tak, aby chlapec nebyl přetěžovaný, ale zároveň aby překonal svoje zjednodušující strategie počítání a dospěl k kvalitnějším způsobům počítání. 

Na příkladu lze ilustrovat několik důležitých poznatků:

1. Je možné, aby dítě prošlo až do 3. ročníku, a přitom neumělo odečítat.
2. Méně kvalitní strategie řešení příkladů se ukážou jako nedostačující až v průběhu dalších let.  
3. Pouze velmi přesná analýza situace umožní situaci v matematice řešit. Naopak nepřesné posouzení situaci často ještě mnohem zhorší. 

Studie je z mé psychologické praxe. Uvádím jí jako ukázku skutečnosti, že i správné výsledky v matematice nemusí být vždy dokladem porozumění matematice. 

Na konci první třídy mi zástupkyně ředitele přivedla chlapce. Chlapec podle jejích slov neposlouchal instrukce a dělal si, co chtěl. Učitelka ho musela několikrát vyhodit za dveře, protože rušil ostatní děti. Situace byla už natolik neúnosná, že chlapec trávil několikátý den před ředitelnou. Chlapec podle výpovědí „vydržel“ poslouchat instrukce učitelů nebo rodičů pár vteřin, a pak si zase jel podle sebe. Kromě toho však byl chlapec inteligentní a vše včetně matematiky bez problémů zvládal. Snížený intelekt a z něho vyplývající neporozumění okolnímu světu bylo tedy spíše možné vyloučit. 

Obvyklým pachatelem bývá v tomto případě ADHD nebo jiná porucha pozornosti. Udělal jsem proto testy na pozornost a paměť, ale ty vyšly v normě. Pozornost ve smyslu narušení nervových spojů měl tedy chlapec v pořádku. Paměť vyšla dokonce výrazně nadprůměrně. Přesto však projevy chování připomínaly narušenou pozornost ve smyslu „dítě se nezvládne soustředit, a proto zlobí.“ 

Když jsem vedle chlapce seděl na pozorování, tak se ukázalo, že pozornost je schopný za určitých podmínek udržet. Poruchu pozornosti tedy bylo možné vyloučit. Někteří lidé by prostě přišli s myšlenkou, že je chlapec nevychovaný, protože mu rodiče nedali pevné hranice. Rodiče však podle mého názoru působili na chlapce přísně. Často dokonce velmi přísně, aby zvládli korigovat jeho chování. 

Protože se specializuji na vývoj myšlení, rozhodl jsem se udělat diagnostiku myšlení. Základním předpokladem totiž byla úvaha, že chlapec nevyhodnocuje situace správně, a to poté projevuje ve špatném chování. Nesprávné vyhodnocování by se mělo projevovat i ve výsledcích diagnostiky myšlení. 

Když jsem zjišťoval zvládání příkladů v matematice, tak mě překvapilo, že chlapec u některých příkladů uvádí, že neví, jak je má vypočítat. Přitom se však jednalo o principiálně stejné typy příkladů (šlo o sčítání a odečítání do dvaceti bez přechodu přes desítku). Navíc se ukázalo, že chlapec zvládne vyřešit některé těžší příklady a jiné lehčí zase nezvládne. Časté jeho otázky zněly: „Jak se to počítá? Jak to mám vypočítat?“ Až jsem narazil na jeden příklad, o kterém žák prohlásil, že „ví, protože ho dělali dnes ve škole.“ V té chvíli jsem si uvědomil, že žák nepočítá příklady ve smyslu myšlenkové operace, ale vybavuje si z paměti příklady i s výsledky. Na první pohled byla reakce stejná, protože v obou případech řekl žák správný výsledek téměř hned po zaznění příkladu. Až vysvětlení počítání však ozřejmilo, že si příklady vybavuje z paměti.

Pro jistotu jsem ho však ještě požádal, jestli by mi neukázal, jak by stejný příklad počítal na prstech. Ani po deseti minutách jsme se však k ničemu nedobrali, tak jsem to samé zkusil s počítadlem. A bez výsledku. Základní poznatek byl tedy následující: žák neumí počítat. Místo toho si pamatuje výsledky. Navíc vůbec nechápe, že počítání je myšlenková operace a myslí si, že se jedná o vybavování si výsledků z paměti. To souviselo s velmi dobrou pamětí.

Začal jsem tedy uvažovat nad tím, proč neumí počítat. Z diagnostiky operací vyplynuly dvě úlohy, které žák nezvládal:

1. V řadě deseti kostiček žák nedokázal určit, která kostička je „před“ jinou a která je naopak „za“ jinou. Například jsem nejdříve ukázal na pátou kostičku a zeptal se, zda je „tato kostička před nebo za touto kostičkou?“ a ukázal jsem na sedmou kostičku. 
2. Užil jsem dvě nestejně dlouhé čáry, které jsou však optickým klamem. Kratší čára vypadá opticky delší, a naopak delší čára vypadá opticky kratší. Poté jsem dal žákovi proužek papíru, který byl delší než kratší čára, a zároveň kratší než delší čára. Požádal jsem ho, aby mi řekl, která čára je kratší a která je delší. 

Obě úlohy vyžadují zvládání jedné myšlenkové operace, a tou je sylogismus. Vysvětlit ji lze následujícím jednoduchým úsudkem: „Aristoteles je člověk. Člověk je smrtelný. Z toho vyplývá, že Aristoteles je smrtelný.“ Pokud jde o kostičky a vztah před-za, tak se zde ukazuje, že pokud platí a<b a zároveň b<c, tak musí automaticky platit i vztah a<c (například platí-li 5<6 a zároveň 6<7, tak dítě může usoudit, že 5<7). Vztah delší – kratší u výše uvedeného úkolu s proužky má stejné schéma. Kratší čára (a) je kratší než proužek (b). Proužek je zároveň kratší než delší čára (c). Proto lze usoudit, že kratší čára je kratší než delší čára. 

Úvahy jsou tedy následující:

• -            Dítě nezvládá pořadové vztahy uprostřed řady, a proto nezvládá ani sčítání a odečítání, protože číselná řada je pořád řada. Pro sčítání a odečítání je totiž nezbytné, zda je například číslo 5 za číslem 3. 
• -            Jelikož nezvládá pořadové vztahy, tak nezvládá základní sylogistické úsudky. 
• -            Dobré školní výkony jsou dány především dobrou pamětí. Ta však sama nestačí pro správné řešení sociálních situací, protože každá sociální situace je trochu jiná. Nelze je řešit pamětně vždy stejným způsobem.

Vrátíme-li se zpátky k úvodním problémům s chováním, tak třídní učitelka popisovala situace, kdy žák na několik vteřin poslechl, a poté zase zlobil. Situace mohla vypadat například takhle: „Tomáši. Tohle se nedělá. Nemůžeš kopat do spolužáka. Bolí ho to.“ Učitelka vysvětlila, že Tomášovo chování není správné. Tomáš to odkýval, vysvětlil, co udělal špatně a šel si po svých. I tak po pár vteřinách zlobí, například do spolužáka bouchá. 

Na základě předchozích informací můžeme usuzovat, že aby Tomáš do spolužáka nebouchal, musí v hlavě vytvořit následující konstrukci: „Já bouchám. Bouchání je špatné. Já dělám něco, co je špatné.“ Ovšem Tomáš takový úsudek vytvořit nedokáže, a proto špatné chování provádí dál v trochu pozměněné podobě. Když však učitelka přijde a situaci mu vysvětlí, tak to pak pochopí (úsudek je mu předložený) a nedělá to už dál. O chvíli později však dělá něco podobného (například šťouchá).

Řešení obtíží v chování tedy spočívalo v osvojení si pořadových vztahů. Když pak Tomáš začal zvládat pořadové vztahy, začalo osvojování si matematických operací prvního ročníku. 

K matematice se vztahuje pouze malá, ale za to podstatná část. Chtěl jsem ale ve stručné podobě popsat celou situaci. Na případu lze pěkně ilustrovat několik důležitých poznatků:

1. Obtíže v matematice se nemusí vždy na první pohled projevovat špatnými výsledky v matematice. Často se projevují problémy v chování a psychickými obtížemi. 
2. Pokud si dítě místo počítání pamatuje výsledky, tak může ještě na konci první třídy působit jako velmi dobrý počtář. Ke zhoršeným výsledkům v matematice však jistě dojde později v souvislosti s nárůstem množství potenciálních nových příkladů. 
3. Při posuzování kvality matematických dovedností nestačí znát pouze výsledky (Tomáš měl většinu příkladů správně.). Důležitý je i způsob myšlení.